Официальные задания школьного этапа олимпиады «Сириус» по математике 14 октября 2025 года для 11 класса. Получите доступ к оригинальным задачам, которые будут предложены участникам. Подробные ответы и разборы заданий. Мы не просто предоставляем решения, но и предлагаем детальные объяснения каждого шага, логику рассуждений и возможные альтернативные подходы к решению. Вы сможете понять, как прийти к правильному ответу, даже если задача кажется сложной.
→ Получить все ответы и задания
Олимпиада по математике 11 класс 14 октября 2025
1 задание. Дана арифметическая прогрессия (а), такая, что a1 + a2 = 11, a1 + a2 +a3+ … + a8 = 164. Найдите а. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
Ответ: a=3. Разность прогрессии 5
2 задание. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 7. Он случайным образом cd составляет из них число вида ab. С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение ab обозначает двухзначное число, состоящее из цифр a и b.
Ответ: 3/8
3 задание. Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку Е — пересечение лучей AD и ВС — и точку F- пересечение лучей АВ и DC. Оказалось, что CD = DE, АЕВ — 52° и угловые меры дуг ВС и AD находятся в соотношении 1: 4. Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах. Найдите величину малой дуги ВС. Ответ выразите в градусах.
Ответ: AFD=78, BC=26.
4 задание. Найдите количество пар различных натуральных чисел а, b, таких, что 1 а <b≤ 64 [a] + [b] = [a] + [b]. Напомним, что [2] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное х, а [x] — наименьшее целое число, большее или равное г.
Ответ: 1568
5 задание. Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 х 100 (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
6. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен -5. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (3, 4), а вторая лежит на оси ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
Ответ: 4 и −40
7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA, BCD, площадь треугольника ВСС равна 12, треугольника АСС, — 24. Пусть s — площадь треугольника CDC1. Найдите 52. Оказалось, что площадь треугольника АВС равна 31. Чему равна площадь треугольника АВС?
8. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву а, b или с. Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы а букву с приписывает сразу перед буквой в букву с приписывает сразу после буквы с ещё одну букву с; стирает букву с и вписывает на том же месте комбинацию ba. Через 9 минут, получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы с, может получить Петя?
2 вариант олимпиады
3 вариант
1. Дана арифметическая прогрессия (аn), такая, что a1 + a2 = 10, a1 + a2 +a3 +…+ a8 = 88. Найдите а. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
5. Дана колода из 600 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 600 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 х 200 (3 строки, 200 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
6. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 2 и 4, а один из двух корней второго трёхчлена равен — 3. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (6, 7), а вторая лежит на оси ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
8. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву а, в или с. Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы а букву с приписывает сразу перед буквой в букву с приписывает сразу после буквы с ещё одну букву с стирает букву с и вписывает на том же месте комбинацию ба. Через 15 минут, получив последовательность из 16 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 16 букв, в которых ровно 2 буквы с, может получить Петя?